傅里叶变换与采样定理

📡 傅里叶变换将信号从时域分解到频域——任何信号都是正弦波的叠加。采样定理告诉我们数字化信号的条件。

从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数（周期信号）

周期为 $T$ 的函数 $f(t)$ 可以分解为：

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n \cos\frac{2\pi n t}{T} + b_n \sin\frac{2\pi n t}{T}\right]$

复数形式（更简洁）：

$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i\frac{2\pi n}{T}t},\quad c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-i\frac{2\pi n}{T}t}\,dt$

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连续傅里叶变换

正变换（时域 → 频域）

$\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\{f\}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-2\pi i \xi t}\,dt$

逆变换（频域 → 时域）

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}\}(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi)\,e^{2\pi i \xi t}\,d\xi$

直觉解释

$\hat{f}(\xi)$ 是"频率为 $\xi$ 的成分有多少"——把信号"投影"到各个正弦波上。

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常用变换对

时域 $f(t)$	频域 $\hat{f}(\xi)$
$\delta(t)$（冲激函数）	$1$（所有频率等幅）
$1$	$\delta(\xi)$
$e^{-a	t
高斯 $e^{-\pi t^2}$	高斯 $e^{-\pi\xi^2}$
$\cos(2\pi f_0 t)$	$\frac{1}{2}[\delta(\xi-f_0)+\delta(\xi+f_0)]$

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傅里叶变换的性质

性质	时域	频域
线性	$af + bg$	$a\hat{f} + b\hat{g}$
时移	$f(t - t_0)$	$e^{-2\pi i\xi t_0}\hat{f}(\xi)$
频移	$e^{2\pi i\xi_0 t}f(t)$	$\hat{f}(\xi - \xi_0)$
卷积定理	$f * g$	$\hat{f} \cdot \hat{g}$
微分	$f'(t)$	$2\pi i\xi \cdot \hat{f}(\xi)$
Parseval	$int	f	^2 dt$	$int	hat{f}	^2 dxi$

卷积定理是信号处理最重要的结论：时域卷积 = 频域相乘。

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离散傅里叶变换（DFT）

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-2\pi i kn/N},\quad k = 0,1,\ldots,N-1$

FFT（快速傅里叶变换）：将 $O(N^2)$ 计算降至 $O(N\log N)$，使实时信号处理成为可能。

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采样定理（Nyquist-Shannon）

定理内容

若连续信号的最高频率为 $f_{\max}$，则采样频率 $f_s$ 满足：

$f_s \geq 2f_{\max}$

才能从采样值完美重建原始信号。$f_s/2 = f_{\max}$ 称为奈奎斯特频率。

混叠（Aliasing）

若 $f_s < 2f_{\max}$，高频分量会"伪装"成低频，导致重建信号失真。

实例：

• CD 音频 44.1kHz：可还原 22kHz 以下（高于人耳上限 20kHz）
• 视频中旋转风扇看起来在倒转：帧率低于风扇转速的两倍

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窗函数

实际信号有限长，截断会产生频谱泄漏。窗函数平滑截断边缘：

窗函数	特点
矩形窗	主瓣最窄，旁瓣最高
汉宁窗	旁瓣低，频率分辨率适中
汉明窗	旁瓣稍高，过渡带窄
Blackman 窗	旁瓣极低，主瓣最宽

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Manim 可视化思路

• 频谱分解动画：复合波形逐步拆解为各频率分量
• FFT 蝴蝶图：展示 FFT 分治递归的计算结构
• 采样与混叠：正弦波以不同频率采样，重建结果对比
• 窗函数效果：矩形截断 vs 汉宁窗的频谱对比