Euler 公式与复数

Euler 公式

被誉为数学中最美公式之一：

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

当 $\theta = \pi$ 时，得到 Euler 恒等式：

$e^{i\pi} + 1 = 0$

这个等式将数学中五个最重要的常数联系在一起：$e, i, \pi, 1, 0$。

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复数的极坐标表示

任意复数 $z = a + bi$ 可以写成：

$z = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

其中：

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$（模）
• $\theta = \arg(z) = \arctan\dfrac{b}{a}$（辐角）

复数乘法的几何意义

$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \, e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

两复数相乘 = 模相乘，辐角相加（即旋转 + 缩放）。

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De Moivre 定理

$( \cos\theta + i\sin\theta )^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

可用于推导三角恒等式，例如 $n=2$：

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$

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Manim 示例：单位圆上的旋转

from manim import *

class EulerFormula(Scene):
    def construct(self):
        plane = ComplexPlane().add_coordinates()
        circle = Circle(radius=1, color=BLUE)

        dot = Dot(color=YELLOW)
        dot.move_to(plane.n2p(1))  # 从 1+0i 出发

        formula = MathTex(r"e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta")
        formula.to_corner(UL)

        self.play(Create(plane), Create(circle), Write(formula))
        self.play(
            MoveAlongPath(dot, circle),
            run_time=4,
            rate_func=linear
        )
        self.wait()