微积分基础公式

极限

极限是微积分的基石，描述函数在某点附近的趋势：

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

经典极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

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导数

导数描述函数的瞬时变化率，定义为：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

常用求导公式

函数	导数
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

链式法则

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

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积分

积分是导数的逆运算，也表示曲线下的面积：

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

其中 $F'(x) = f(x)$（微积分基本定理）。

常用积分公式

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

分部积分

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

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Manim 示例：绘制导数切线

from manim import *

class DerivativeVisualization(Scene):
    def construct(self):
        axes = Axes(x_range=[-3, 3], y_range=[-1, 9])
        curve = axes.plot(lambda x: x**2, color=BLUE)
        label = axes.get_graph_label(curve, label="f(x)=x^2")

        # x=1 处的切线，斜率 f'(1)=2
        tangent = axes.plot(lambda x: 2*x - 1, color=YELLOW)

        self.play(Create(axes), Create(curve), Write(label))
        self.play(Create(tangent))
        self.wait(2)