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向量空间、基与秩

🏗️ 向量空间是线性代数的抽象框架：不只是箭头，任何满足线性运算规则的集合都是向量空间。

向量空间​

定义​

集合 VV 配备加法和标量乘法，满足 8 条公理（封闭性、结合律、分配律等）即为向量空间。

常见例子：

  • Rn\mathbb{R}^n：nn 维实向量
  • Rm×n\mathbb{R}^{m \times n}：m×nm \times n 实矩阵
  • 多项式集合 PnP_n
  • 连续函数集合 C[a,b]C[a,b]

子空间​

W⊆VW \subseteq V 是子空间   ⟺  \iff 对加法和标量乘法封闭，且包含零向量。

矩阵的重要子空间：

子空间定义维度
列空间 Col(A)\text{Col}(A)AA 的列向量张成的空间rank(A)\text{rank}(A)
零空间 Null(A)\text{Null}(A)Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解集n−rank(A)n - \text{rank}(A)
行空间 Row(A)\text{Row}(A)AA 的行向量张成的空间rank(A)\text{rank}(A)
左零空间ATx=0A^T \mathbf{x} = \mathbf{0} 的解集m−rank(A)m - \text{rank}(A)

线性无关与张成​

线性无关​

向量组 {v1,…,vk}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\} 线性无关   ⟺  \iff c1v1+⋯+ckvk=0c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} 只有零解。

几何直觉：没有一个向量能被其他向量的线性组合表示。

张成（Span）​

span{v1,…,vk}={c1v1+⋯+ckvk∣ci∈R}\text{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\} = \{c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k \mid c_i \in \mathbb{R}\}

基​

定义​

VV 的基：线性无关且能张成整个 VV 的向量组。

  • R3\mathbb{R}^3 标准基：e1,e2,e3\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3
  • 基不唯一，但维数唯一

坐标​

确定基 B={b1,…,bn}\mathcal{B} = \{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\} 后，每个向量有唯一坐标表示：

[v]B=(c1,c2,…,cn)T 使得 v=∑cibi[\mathbf{v}]_{\mathcal{B}} = (c_1, c_2, \ldots, c_n)^T \text{ 使得 } \mathbf{v} = \sum c_i \mathbf{b}_i

维数（Dimension）​

  • dim⁡(V)\dim(V)：VV 的任意一组基的元素个数
  • dim⁡(Rn)=n\dim(\mathbb{R}^n) = n
  • dim⁡({0})=0\dim(\{\mathbf{0}\}) = 0

维数定理（秩—零化度定理）：

rank(A)+nullity(A)=n\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n

其中 nn 是 AA 的列数，nullity(A)=dim⁡(Null(A))\text{nullity}(A) = \dim(\text{Null}(A))。

秩（Rank）​

定义​

rank(A)=dim⁡(Col(A))=dim⁡(Row(A))\text{rank}(A) = \dim(\text{Col}(A)) = \dim(\text{Row}(A))

求秩的方法​

对 AA 进行行变换化为行阶梯形，主元（pivot）的个数即为秩。

满秩矩阵​

条件含义
rank(A)=m\text{rank}(A) = m（行满秩）方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 对任意 b\mathbf{b} 有解
rank(A)=n\text{rank}(A) = n（列满秩）方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b} 至多一个解
rank(A)=m=n\text{rank}(A) = m = nAA 可逆

线性变换​

定义​

T:V→WT: V \to W 满足 T(u+v)=Tu+TvT(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T\mathbf{u}+T\mathbf{v} 且 T(cv)=cTvT(c\mathbf{v}) = cT\mathbf{v}。

核与像​

  • 核（Kernel）：ker⁡(T)={v∈V∣Tv=0}\ker(T) = \{\mathbf{v} \in V \mid T\mathbf{v} = \mathbf{0}\}（类比零空间）
  • 像（Image）：Im(T)={Tv∣v∈V}\text{Im}(T) = \{T\mathbf{v} \mid \mathbf{v} \in V\}（类比列空间）
  • 维数定理：dim⁡ker⁡(T)+dim⁡Im(T)=dim⁡V\dim\ker(T) + \dim\text{Im}(T) = \dim V

Manim 可视化思路​

  • 基变换动画：同一向量在不同基下坐标的变化
  • 列空间可视化：矩阵列向量张成的平面/直线
  • 秩-零化度：行变换过程动画，主元位置高亮